1927年10月13日イリノイ州シカゴ生まれ。
2020年4月15日コロナにより死去。
コニッツは、ロシア帝国からアメリカに移住してきたユダヤ系の両親の元に生まれた。
11歳の時にベニー・グッドマンの影響を受けてクラリネットを手にした。
ルー・ホーニッグ（Lou Honig）に師事してクラシック音楽を学んだ後、
レスター・ヤングの影響を受けてクラリネットからテナー・サックスに転向。
サンティ・ラニヨンにも師事して最終的にはアルト・サックス奏者として活躍した。
チャーリー・ヴェンチュラの後任としてテディ・パウエルの楽団に加入したが、1ヶ月後には楽団が解散。
ジェリー・ウォルドと仕事した後にピアニストのレニー・トリスターノと出会い、2人でバーで一緒に働いたという。
クロウド・ソーンヒルの楽団でプレイした後、マイルス・デイヴィスのグループに加入してアルバム『クールの誕生』のレコーディングにも参加したが、
白人のコニッツがマイルスのグループに加入した際、当時の主なマイルス音楽のリスナーだったアフリカ系アメリカ人層からは批判された。
これに対しマイルスは「いいプレイをする奴なら、肌の色が緑色でも雇う」と発言したという逸話は有名。
同じサックス奏者のチャーリー・パーカーとは良き友人で、一部の評論家から言われていたようなライバル関係ではなかったという。
1950年代初頭にはリーダー作のレコーディングを行い、ヴァーヴから1961年に発表された『モーション』にはエルヴィン・ジョーンズらが参加した。
その後も様々なミュージシャン達と共演してレコーディングやライブを行ったり、映画の音楽を手掛けるなど75年という長きにわたって活動した。
2020年に新型コロナウィルス感染症からの肺炎により、92歳で死去した。
1947年クロウド・ソーンヒルの録音に名前が見える。
"Claude Thornhill Orchestra／Sleepy serenade"(Design records DLP 50)
「クロウド・ソーンヒル・オーケストラ／ザ・リアル・バース・オブ・ザ・クール」(CBS SOPC-57104)
"Claude Thornhill Orchestra／Encores"(Columbia CL 6164)